Secara umum model ARIMA (Box-Jenkins) dirumuskan dengan notasi sebagai berikut (Harijono dan Sugiarto, 2000) :
ARIMA (p,d,q)
dalam hal ini,
p menunjukkan orde / derajat Autoregressive (AR)
d menunjukkan orde / derajat Differencing (pembedaan) dan
q menunjukkan orde / derajat Moving Average (MA)
Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive adalah model yang menggambarkan bahwa variabel dependen dipengaruhi oleh variabel dependen itu sendiri pada periode-periode dan waktu-waktu sebelumnya (Sugiarto dan Harijono, 2000). Secara umum model autoregressive (AR) mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dimana,
: deret waktu stasioner
: Konstanta
: Nilai masa lalu yang berhubungan
: Koefisien atau parameter dari model autoregressive
: residual pada waktu t
Orde dari model AR (yang diberi notasi p) ditentukan oleh jumlah periode variabel dependen yang masuk dalam model. Sebagai contoh :
adalah model AR orde 1 dengan notasi ARIMA (1,0,0)
adalah model AR orde 2 dengan notasi ARIMA (2,0,0)
Model diatas disebut sebagai model autoregressive (regresi diri sendiri) karena model tersebut mirip dengan persamaan regresi pada umumnya, hanya saja yang menjadi variabel independen bukan variabel yang berbeda dengan variabel dependen melainkan nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependen () itu sendiri
Banyaknya nilai lampau yang digunakan oleh model, yaitu sebanyak p, menentukan tingkat model ini. Apabila hanya digunakan satu lag dependen, maka model ini dinamakan model autoregressive tingkat satu(first-order autoregressive) atau AR(1). Apabila nilai yang digunakan sebanyak p lag dependen, maka model ini dinamakan model autoregressive tingkat p (p-th order autoregressive) atau AR(p).
2.1.8.1.3 Model Moving Average (MA)
Secara umum model moving average mempunyai bentuk sebagai berikut :
dimana,
: Deret waktu stasioner
: konstanta
: koefisien model moving average yang menunjukkan bobot. Nilai koefisien dapat memiliki tanda negatif atau positif, tergantung hasil estimasi.
: residual lampau yang digunakan oleh model, yaitu sebanyak q, menentukan tingkat model ini.
Perbedaan model moving average dengan model autoregressive terletak pada jenis variabel independen. Bila variabel independen pada model autoregressive adalah nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependen () itu sendiri, maka pada model moving average sebagai variabel independennya adalah nilai residual pada periode sebelumnya.
Orde dari nilai MA (yang diberi notasi q) ditentukan oleh jumlah periode variabel independen yang masuk dalam model. Sebagai contoh :
adalah model MA orde 1 dengan notasi ARIMA (0,1,1)
adalah model MA orde 2 dengan notasi ARIMA (0,0,2)
Model ARMA (Autoregressive Moving Average)
Sering kali karakteristik Y tidak dapat dijelaskan oleh proses AR sana atau MA saja, tetapi harus dijelaskan oleh keduanya sekaligus. Model yang memuat kedua proses ini biasa disebut model ARMA. Bentuk umum model ini adalah :
Di mana Yt dan et sama seperti sebelumnya, gt adalah konstanta, d dan l adalah koefisien model. Jika model menggunakan dua lag dependen dan tiga lag residual, model itu dilambangkan dengan ARMA (2,3)
Model ARIMA
Dalam praktek banyak ditemukan bahwa data ekonomi bersifat non-stasioner sehingga perlu dilakukan modifikasi, dengan melakukan pembedaan(differencing), untuk menghasilkan data yang stasioner. Pembedaan dilakukan dengan mengurangi nilai pada suatu periode dengan nilai pada periode sebelumnya.
Pada umumnya, data di dunia bisnis akan menjadi stasioner setelah dilakukan pembedaan pertama. Jika setelah dilakukan pembedaan pertama ternyata data masih belum stasioner, perlu dilakukan pembedaan berikutnya. Data yang dipakai sebagai input model ARIMA adalah data hasil transformasi yang sudah stasioner, bukan data asli. Beberapa kali proses differencing dilakukan dinotasikan dengan d. Misalnya data asli belum stasioner, lalu dilakukan pembedaan pertama dan menghasilkan data yang stasioner. Dapat dikatakan bahwa series tersebut melalui proses differencing satu kali, d=1. Namun jika ternyata deret waktu tersebut baru stasioner pada pembedaan kedua, maka d=2, dan seterusnya.
Model ARIMA biasanya dilambangkan dengan ARIMA(p,d,q) yang mengandung pengertian bahwa model tersebut menggunakan p nilai lag dependen, d tingkat proses differensiasi, dan q lag residual. Simbol model sebelumnya dapat juga dinyatakan dengan simbol ARIMA, misalnya :
MA(2) dapat ditulis dengan ARIMA (0,0,2)
AR(1) dapat ditulis dengan ARIMA (1,0,0)
ARMA (1,2) dapat ditulis dengan ARIMA(1,0,2)
Dan sebagainya.
